Le Rubik's Cube pour tous

Spols

Voila j'ai découvert maintenant avec certitude, que les centres obliques des cubes nxnxn avec n >= 6 ont une parité, il est possible d'intervertir 2 centre oblique d'une même couleur contrairement au autres types de centre.

Je cherche encore une formule pour régler ce type de cas, mais est-ce que vous vous y attendiez ?? Quelqu'un a t il une explication mathématique?
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ofapel · Posté le: Jeu Juil 10, 2008 11:10 pm Sujet du message:

Il me semble qu'on en avait parlé avec deadal mais on n'a pas creusé la question.
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Jacen Solo · Posté le: Mar Juil 29, 2008 4:09 pm Sujet du message:

Qu'appelles-tu centres obliques ?
Est-ce les pièces qui ne sont ni sur une arête, ni sur une diagonale ni sur une médiane ?

Classifions les pièces du 6^3, et observons la parité de permutation de chaque quart de tour élémentaire sur chaque type :
- centre-coin-1 (CC1)
- centre-oblique-g (COg)
- centre-oblique-d (COd)
- centre-coin-2 (CC2)
- wing-1 (W1)
- wing-2 (W2)
- sommets (S).

Quart de tour d'une face (T1) :
- Impair sur les CC1
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Impair sur les CC2
- Pair sur les W1
- Pair sur les W2
- Impair sur les S

Quart de tour d'une tranche en-dessous (T2) :
- Pair sur les CC1
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Pair sur les CC2
- Pair sur les W1
- Impair sur les W2
- Pair sur les S

Quart de tour d'une tranche encore plus profonde (T3) :
- Pair sur les CC1
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Pair sur les CC2
- Impair sur les W1
- Pair sur les W2
- Pair sur les S

Les équations de parité qui en résultent sont :
p (CC1) = p (CC2) = p (S) = p (T1)
p (COd) = p (COg) = p (T1) + p (T2) + p (T3)
p (W1) = p (T3)
p (W2) = p (T2)

Où je note p le morphisme de parité (à valeurs dans Z/2Z).

Conclusion : il n'est pas possible de permuter 2 CO et c'est tout.
Par contre, il est possible de permuter 2 COg d'une part, 2 COd d'une part, et 2W (W1 ou W2 au choix).
Algo pour ce faire (je ne prétendrai certainement pas à son optimalité) :
- Appliquer le cas de parité sur les W (mettons les W1, donc avec un nombre impair de T3, un nombre pair de T1 et pas de T2). On préserve les S, les W2 et les CC2, on fait un 2-cycle sur les W1, et sauf erreur on fait deux 2-cycles sur les CC1, un 2-cycle sur les COd et un 2-cycle sur les COg.
- Corriger les effets indésirables sur les CC1 par des algos pairs (genre les dérivés du Niklaas)
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Spols · Posté le: Mar Juil 29, 2008 5:00 pm Sujet du message:

j'ai finalement fini mon super 20x20x20, et je n'avais pas vu sur une autre face que mon algo de parité avait modifier l'orientation de certain centre.

Je comprends donc bien maintenant ce qui se passait, lorsque j'ai essayé en premier lieu de résoudre mon 6eme sens (euh .. centre) mes arête n'était pas faite, et donc impossible de le résoudre avec des technique habituelle.

après avoir fait mes arêtes, j'ai eu les 2 cas de parité qui ont bougé certain centre des face finie, je m'en suis pas aperçu directement, cependant ces formule ne modifie qu'un seul centre, il est donc possible avec des set up, de résoudre les parité sans toucher au centre fini

mais je conclu que si j'ai un algo qui échange 2 centres, et qu'on se fout de ce qu'il modifie sur les arête, on évite les cas de parité
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Jacen Solo · Posté le: Mar Juil 29, 2008 5:04 pm Sujet du message:

Tiens, je me demande si les conclusions sont les mêmes sur un cube impair (le 7^3 par exemple).
Classification des pièces :
- centre (C)
- centre-croix-1 (C1)
- centre-coin-1 (CC1)
- centre-croix-2 (C2)
- centre-oblique-g (COg)
- centre-oblique-d (COd)
- centre-coin-2 (CC2)
- milieu d'arête (A)
- wing-1 (W1)
- wing-2 (W2)
- sommets (S).

Quart de tour d'une face (T1) :
- Pair sur les C
- Impair sur les C1
- Impair sur les CC1
- Impair sur les C2
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Impair sur les CC2
- Impair sur les A
- Pair sur les W1
- Pair sur les W2
- Impair sur les S

Quart de tour d'une tranche en-dessous (T2) :
- Pair sur les C
- Pair sur les C1
- Pair sur les CC1
- Impair sur les C2
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Pair sur les CC2
- Pair sur les A
- Pair sur les W1
- Impair sur les W2
- Pair sur les S

Quart de tour d'une tranche encore plus profonde (T3) :
- Pair sur les C
- Impair sur les C1
- Pair sur les CC1
- Pair sur les C2
- Impair sur les COg
- Impair sur les COd
- Pair sur les CC2
- Pair sur les A
- Impair sur les W1
- Pair sur les W2
- Pair sur les S

Quart de tour d'une tranche centrale (TC) :
- Impair sur les C
- Pair sur les C1
- Pair sur les CC1
- Pair sur les C2
- Pair sur les COg
- Pair sur les COd
- Pair sur les CC2
- Impair sur les A
- Pair sur les W1
- Pair sur les W2
- Pair sur les S

Les équations de parité qui en résultent sont :
p (C) = p (TC)
p (A) = p (T1) + p (TC)
p (C1) = p (W1) = p (T3)
p (C2) = p (W2) = p (T2)
p (CC1) = p (CC2) = p (S) = p (T1)
p (COd) = p (COg) = p (T1) + p (T2) + p (T3)

(Mêmes notations que tout à l'heure)

Conclusion 1 : Cette fois, pour permuter deux COd et 2 COg, il nous faut aussi permuter les centre-croix associés aux Wings. Et sauf mauvais miracle, l'algo est le même, c'est l'algo de parité qui fait "tout".
Conclusion 2 : sur un super-cube de taille impaire, en Hardwick, pas de cas de parité !
Conclusion 3 : on peut dénombrer les combinaisons d'un super-cube de taille 7 (je laisse la généralisation aux autres tailles impaires en exercice au lecteur) : 8! × 12! × 2^11 × 3^7 × (24!)^8/2^7 =~ 3 × 10^208.
Et d'après le message précédent, on peut aussi dénombrer les combinaisons d'un super-cube de taille 6 : 8! × 3^7 × (24!)^6/(24 × 2^4) =~ 3 × 10^144
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Jacen Solo · Posté le: Mar Juil 29, 2008 5:40 pm Sujet du message:

Ah tiens, j'avais zappé ton message coincé entre les deux miens, Spols (et au passage, j'ai fini de compléter mon précédent message, et avec un peu de chance j'ai aussi fini de le corriger). Content que nous parvenions aux mêmes conclusions.
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Jacen Solo · Posté le: Mar Juil 29, 2008 7:57 pm Sujet du message:

Au fait, l'algo de parité le plus simple que je connaisse qui ne touche pas trop aux centres, c'est :

(M1R U2)4 M1R

À vue de nez, il doit échanger deux barres de la face U (clairement, il ne peut pas toucher aux autres faces, ni au reste de la face U ; comme les bandes restent intactes, il reste à voir comment elles sont permutées / retournées ; par parité sur les centre-croix, elles sont échangées, et par parité sur les centre-coins, elles sont soit toutes deux retournées, soit aucune ; je crois que c'est le deuxième cas).

Il fut une époque où c'était le seul algo de parité que je connaissais (parce que je refusais de piquer des algos tant que je n'avais pas une méthode systématique pour le résoudre rien qu'avec des algos à moi).
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Le Mégaminx, c'est bien ! (Record : 2 min 43, 53 s)

Jacen Solo · Posté le: Dim Sep 14, 2008 11:32 am Sujet du message:

Vu sur l'article de Wikipédia Anglophone sur le cube 6^3 :