Le Rubik's Cube pour tous

lighthands · Posté le: Mer Juin 11, 2008 3:02 pm Sujet du message: Les maths du 4x4x4

Bonjour tout le monde,
Après avoir compris les maths du cube 3x3x3 et pourquoi il y à 43 252 003 274 489 856 000 façon différentes d'arranger le cube, je me posais une question qui, malgré de longues recherches sur google, reste sans réponse:
Pourquoi y a-t-il 235731790397475540746817350638390943894470656000000000 solutions pour le rubik's revenge????

Merci de votre aide et bon cubing!
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Possesseur du 2x2x2 ; 3x3x3 ; 3x3x3 rubik icon ; 4x4x4 ; 5x5x5 ; Megaminx et je les ai tous dans les doigts!!

Jacen Solo · Posté le: Mer Juin 11, 2008 3:27 pm Sujet du message:

Je ne sais pas ce que tu appelles solutions, mais si tu définis une "position" du cube comme étant la disposition de tous les stickers de chaque couleur, à déplacement près dans l'espace (de sorte qu'il y ait une et une seule position du cube qui soit résolue), alors :
- on peut permuter les cubes-sommets comme on veut (8 ! permutations)
- on peut permuter les cubes-arêtes comme on veut (24 ! permutations)
- on peut permuter les cubes-centres comme on veut (24 ! permutations, mais on peut les grouper par 4 !^6 indiscernables)
- la position d'un cube-arête et d'un cube-centre détermine complètement son orientation
- tous les cubes étant à un emplacement fixé, on peut orienter les cubes-sommets comme on veut, la seule contrainte étant que la somme des orientations fasse un nombre entier de tours (3^7 orientations possibles).
Et tout ça étant indépendant.

On fait le produit des combinaisons associées, et on divise par le nombre de rotations globales du cube (24), et on obtient :
(8 ! × 24 ! × 24 !/24^6 × 3^7)/24

Ma calculatrice donne :
7 401 196 841 564 901 869 874 093 974 498 574 336 000 000 000
Soit 7,401... × 10^45

Apparemment, tu trouves plus que ça donc ça ne doit pas être la même définition de "solutions". Une autre définition, c'est la disposition et orientation de chaque pièce du cube, auquel cas les centres de faces d'une même couleur ne sont plus indiscernables.
Par contre, sauf erreur de ma part, on ne peut atteindre que les permutations paires de ces pièces.
On obtient donc (8 ! × 24 ! × 24 !/2 × 3^7)/24

Ma calculatrice donne : 7,071... × 10^53, soit exactement le triple de ta valeur. Je ne sais pas où je me suis planté, mais cette fois, je pense que c'est de cette définition dont il s'agit.

Edit : J'ai corrigé mes âneries, Sloubi.
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Le Mégaminx, c'est bien ! (Record : 3 min 14, 98 s)

Sloubi · Posté le: Mer Juin 11, 2008 3:37 pm Sujet du message:

Euh.... C'est moi qui suis à l'ouest, ou on peut permuter les cubes arêtes comme on veut tout court.
Les deux arêtes de mêmes couleurs sont discernables, non?

ça me fait du 7.40119684 × 10^45
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Megaminx : 1min15 sg / 1min34.25 moy.

Tatsuya · Posté le: Mer Juin 11, 2008 3:42 pm Sujet du message:

Oui, elles sont discernables, vu leur forme, on voit bien qu'on ne peut pas les échanger sans les retourner (j'espère que je suis clair ...)
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Doodle septembre :
http://www.doodle.ch/nz73cp2r7xddmv9k

Jacen Solo · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:01 pm Sujet du message:

Et après édition, vous êtez d'accord ?
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Le Mégaminx, c'est bien ! (Record : 3 min 14, 98 s)

lighthands · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:03 pm Sujet du message:

Je comprend pas trop pourquoi on diviserai par 24 à la fin mais j'ai trouvé la formule suivante :
8! * 3^7 * 24! * (24! / (6 * 4!)).

Je dirais que 8!*3^7 c'est pur les angles, comme pour le 3x3x3
Le 24! / (6 * 4!) c'est pour les centres (il y en a 24 dont 4 identique pour chacune des couleurs)
Et le 24! restant c'est pour les arêtes avec effectivement comme prérogative que la position d'un cube arrête définie son orientation (donc il ne faut pas diviser ce nombre de possibilités par quoi que ce soit)

Et je tombe sur le résultat que je donnais sur mon premier post. Ce résultat semblant être un résultat communément admis...ou est l'erreur?
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TMOY · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:08 pm Sujet du message:

L'erreur est là:

Jacen Solo · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:09 pm Sujet du message:

lighthands · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:28 pm Sujet du message:

Si je pense que pour les centre on a 24!/ (6 * 4!) solution c'est que chacun des quatre centres peut être placé où il reste de la place, donc 4 solution pour le premier considéré et 4! pour les quatre. et *6 car il y a 6 faces...

En fait tu divise par 24 parce que chacune des 24 solutions proposées est la "vrai" solution par exemple, n'est-ce pas? Mais je n'ai jamais vu personne proposer de diviser par 24 pour le 3x3x3 ou le même cas se présente!
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Sloubi · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:36 pm Sujet du message:

pour le 333, tu as les centres fixes qui te permettent de ne pas avoir à diviser par 24. On divise par 24 pour les 2nx2nx2n, par ex pour le 222.

Et c'est bien 4!^6 et non 4!*6.
Regarde, si tu avais seulement 4 centres identiques tu diviserais par 4!
Rend 4 nouveaux centres indiscernables, tu re-divise par 4!
donc tu as divisé par 4!*4!=4!^2
Donc c'est bien par 4!^6 qu'il faut diviser.

Je n'ai pas vu le résultat du premier post comme communément admis Confused

(va voir wikipedia par exemple Wink

)
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BenJ · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:40 pm Sujet du message:

Moi j'appuie Sloubi Smile

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Moyenne/Single : 13 sec 06 / 8 sec 31

lighthands · Posté le: Mer Juin 11, 2008 4:48 pm Sujet du message:

Argumentaire convaincant sloubi, j'ai réalisé après avoir posté pour le 3x3x3 et j'ai eu la flem d'éditer. mais tape 235731790397475540746817350638390943894470656000000000 sur google, tu verra d'où je le sort.

Mais wiki est d'accord avec vous, je m'incline...et merci a tous, maintenant j'ai compris!!!
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deadalnix · Posté le: Mer Juin 11, 2008 6:03 pm Sujet du message:

4! pour les centres et 6 pour le sens du cube.
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Un chtit lien vers ma page perso Wink

Un problème ? C'est pas ici que ca se regle !

ofapel · Posté le: Mer Juin 11, 2008 10:22 pm Sujet du message:

Si je peux apporter ma maigre participation à ce topic, je tiens à dire que seul les coins doivent être mis dans une configuration connue lors d'un remontage aléatoire. Le reste n'a pas d'importance.
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Try not to think in terms of right or wrong.

TMOY · Posté le: Mer Juin 11, 2008 10:40 pm Sujet du message: